Tema 2.- Sistemas de Numeración

 

Los números pueden representarse en diversos sistemas de numeración que se diferencian por su base.

La base de un sistema de numeración es el numero de símbolos distintos utilizados para la representación de las cantidades de dicho sistema. El sistema de numeración que se utiliza normalmente es el de base diez, cuyos símbolos son del 0 al 9, es decir diez dígitos.

El sistema de numeración utilizado en la realización de circuitos lógicos es el de base dos, puesto que un circuito digital puede diferenciar fácilmente entre nivel alto de tensión y nivel bajo de tensión. En el sistema de base dos existen sólo dos símbolos, “0” y “1” . este sistema en base dos se denomina como sistema binario.

 

2.1.-Expresión Polinómica de Numerarción    

 

En cualquier sistema de numeración la forma de pasar un numero a base diez es desarrollando su expresión polinómica, cuya forma genérica es la siguiente:

 

 

N = an.bn + an-1.bn-1+an-2.bn-2+…a0.b0+a-1.b-1+a-2.b-2

 

 

De donde:                                          N = numero a desarrollar

                                                           b = base del sistema

                                                           a = la cifra

                                                           n = la base

                                                           n = posición o peso

 

  Ejemplos:      

 

1) A partir del numero 45,7810 desarrollar su forma polinomica.

 

        45,78 = 4.101 + 5.100 + 7.10-1 + 8.10-2

                             

4.101 = 40

               5.100 =   5

               7.10-1=   0,7

               8.10-2=   0,08

                            45,78  

 

2) Expresar de forma ploinomica el numero 453,768 y su equivalente en base diez.

 

          453,76 = 4.82 + 5.81 +3.80+7.8-1+6.8-2  

 

                    4 = 4.82 = 64

                    5 = 5.81 = 40

                    3 = 3.80 =   3

                    7 = 7.8-1 =   0,875

                    6 = 6.8-2 =   0,09375

                                    107,9687510

          

  Por lo tanto 453,768 = 107,9687510

 

3) Ahora expresaremos en forma polinómica el numero en base dos 1011,112 y su equivalente en base diez.

 

   1011,112 = 1.23 +0.22 +1.21 +1.20 +1.2-1 +1.2-2  

 

                    1 = 1.23 = 8

                    0 = 0.22 = 0

                    1 = 1.21 = 2

                    1 = 1.20 = 1

                    1 = 1.2-1= 0.5

                    1 = 1.2-2= 0.25

                                   11.7510

   

 Por lo tanto 1011,112 = 11.7510

 

2.2.-Sistema Binario    

 

Como ya hemos visto este sistema utiliza dos símbolos distintos, que se representan por un “0” y un “1” y que en digital reciben el nombre de bit. Su utilización prácticamente exclusiva de este sistema de numeración es debido a su fácil aplicación en circuitería digital, facilitando las operaciones aritméticas en este sistema.

En la siguiente tabla podemos ver los dieciséis primeros números del sistema binario y decimal

 

SISTEMA BINARIO

SISTEMA DECIMAL

0000

0

0001

1

0010

2

0011

3

0100

4

0101

5

0110

6

0111

7

1000

8

1001

9

1010

10

1011

11

1100

12

1101

13

1110

14

1111

15

Tabla1

 

2.3.-Conversión de un numero entero de base 10 a otra base

 

Este procedimiento consiste en dividir cada cifra del un ero de base 10 entre la base del sistema al cual queremos pasar. El cociente que se obtenga se vuelve a dividir entre la base y así sucesivamente hasta que se obtenga un cociente menor que la base. El último cociente y los restos obtenidos forman el numero en la nueva base. Para esto pondremos tres ejemplos:

 

a)     Convertir el numero 6410 a base 2.

64

2

 

 

 

 

 

04

32

2

 

 

 

 

0

12

16

2

 

 

 

 

0

0

8

2

 

 

 

 

 

0

4

2

 

 

 

 

 

0

2

2

 

 

 

 

 

0

1

 

  ¬ leyendo de derecha a izquierda tenemos que 6410 = 10000002

 

b) Convertiremos ahora el 5410 a base 4

              

54

4

 

14

13

4

2

1

3

                                    

  ¬ leyendo de derecha a izquierda tenemos que 5410 = 2134

 

c)     Por último pasaremos el numero 5410 a base 2

54

2

 

 

 

 

14

27

2

 

 

 

0

26

13

2

 

 

 

1

1

6

2

 

 

 

 

0

3

2

 

 

 

 

1

1

                                             

¬ leyendo de derecha a izquierda tenemos que 5410 = 1101102

 

Cuando un numero es fraccionario, habrá que multiplicarlo por la base a la que queremos pasarla, cogemos la parte entera y se vuelve a multiplicar, este proceso termina cuando el numero pierde la parte fraccionaria. De tal forma que el numero de la nueva base esta formado por las partes enteras de cada resultado de la operación. Para esto haremos dos ejemplos aclaratorios:

 

a)     Partiendo de 0,6562510 lo pasaremos a binario:

 

      0,65625 x 2 = 1,3125           

0,3125   x 2 = 0,625              

0,625     x 2 = 1,25               

         0,25       x 2 = 0,5

         0,5         x 2 = 1,00

 

 

 

leyendo de arriba a abaji tenemos que 0,6562510= 0,101012

 

b)     Pasaremos ahora el numero 0,825 a sistema binario:

 

0,825   x 2 = 1,65

0,65     x 2 = 1,3

0,3       x 2 = 0,6                  

0,6       x 2 = 1,2                  

0,2       x 2 = 0,4

0,4       x 2 = 0,8

      

  leyendo de arriba a bajo tenemos que   0,82510 = 0,1101002

2.4.- Cnversión de un sistema de numeración a otro cualquiera

 

Este método consiste en pasar en primer lugar el numero a base decimal y después a la base que se quiera. Para ello vamos a realizar dos ejemplos que lo ilustren.

 

a) Vamos a convertir el numero 1245 en binario

                                                                                                                     

1 x52

=

25

 

 

 

 

39

2

 

 

 

 

 

2 x51

=

10

 

 

 

 

19

19

2

 

 

 

 

4 x50

=

4

 

 

 

 

1

1

9

2

 

 

 

 

 

3910

 

 

 

 

 

1

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

                                                                                                                      ¬

Luego tenemos que 1245 = 1001112

 

b)     Por último pasaremos 6257 de base siete a base cuatro

 

6 x72

=

294

 

 

 

 

331

4

 

 

 

5 x71

=

35

 

 

 

 

11

82

4

 

 

2 x70

=

2

 

 

 

 

3

02

20

4

 

 

 

33110

 

 

 

 

 

0

5

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1














                                                                                                                       

Por lo tanto el numero 6527 es el equivalente a 110234

 

 

2.5.- Sistema Octal 

 

Este sistema de base ocho basa su interés en la sencillez de conversión al sistema binario. Para convertir un numero de base ocho a binario, se cambia cada cifra en su equivalente de 3 bits, este sistema de numeración se utiliza en computadoras.

 

Ejemplo 1.-    Paso de octal a binario:  3258

 

                        3 = 011          

                        2 = 010               

                        5 = 101

 

 

 leyendo de arriba a bajo tenemos que  3258 = 110101012

 


Ejemplo 2.-     Paso de binario a octal:  100- 101- 110

 

                        100 = 4           

                        101 = 5              

                        110 = 6

 

   ¯ leyendo de arriba a bajo tenemos que     1001011102 = 4568

 

2.6.-Sistema Hexadecimal

 

De igual modo que el anterior caso este sistema es fácil de convertir y se utiliza en informática en la configuración de programas para definir direcciones de memoria, colores, etc.

El método consiste en sustituir cada cifra por su equivalente en numero binario de 4 bits. Para ello se muestra en la siguiente tabla el numero en hexadecimal y su equivalente.

 

 

SISTEMA BINARIO

SISTEMA HEXADECIMAL

0000

0

0001

1

0010

2

0011

3

0100

4

0101

5

0110

6

0111

7

1000

8

1001

9

1010

A

1011

B

1100

C

1101

D

1110

E

1111

F

 

Tabla 2

 

 

 

Ejemplo 1.-     Convertiremos el numero 9A7E16 a binario:

                       

9A7E16

                       

                        9 =   1001     

                        A =   1010         

                        7 =   0111

                        E =   1110     

                       

 

 

 Leyendo de arriba a bajo tenemos que: 9A7E16 = 1001101001111102

 

 

Ejemplo 2.-     Ahora haremos el contrario el numero binario lo dividiremos en grupos de 4 bits y lo ordenaremos, según el numero que corresponde en la tabla 2.

 

 Pasaremos el numero 1111001111002 a sistema hexadecimal,   partimos en grupos de 4 bits   1111- 0011- 1100

 

                        1111 = F        

                        0011 = 3            

                        1100 = C

  leyendo de arriba a bajo tenemos que        1111001111002 = F3C16